Một bài toán vì sao đó không giải được
(trích từ sách "Toán học qua các câu chuyện về tập hợp", tủ sách #Sputnikedu, đang chuẩn bị in ra)
Chúng ta đã làm quen với hai dạng của các tập hợp vô hạn. Dạng thứ nhất là những tập đếm được, có lực lượng bằng tập hợp các số tự nhiên, còn dạng thứ hai là những ``thể liên tục'' có lực lượng continuum, bằng lực lượng tập hợp các điểm trên đường thẳng. Ta đã thấy là dạng thứ hai có nhiều phần tử hơn dạng thứ nhất. Nảy sinh một câu hỏi hết sức tự nhiên: có tồn tại hay không một tập hợp ``trung gian'', có lực lượng nhỏ hơn continuum nhưng lớn hơn lực lượng của tập hợp các số tự nhiên? Câu hỏi này có tên gọi là vấn đề continuum. Nhiều nhà toán học, kể từ Cantor trở đi, đã suy nghĩ về nó, nhưng trong thời gian rất lâu không ai giải quyết được nó.
Viện sĩ N.N. Luzhin, một trong những nhà toán học lớn nhất và là người sáng lập chuyên ngành lý thuyết hàm số thực tại Liên Xô cũ, đã suy nghĩ về vấn đề continuum trong rất nhiều năm. Nhưng lời giải vẫn rất xa xăm, như ảo ảnh trong sa mạc. (Trong quá trình nghiên cứu về vấn đề này, N. N. Luzin đã giải được hàng loạt các bài toán phức tạp nhất của lý thuyết tập hợp và đã tạo ra một ngành toán học mới - lý thuyết tập hợp mô tả).
Một lần, người ta mang đến cho N. N. Luzin cậu bé mười lăm tuổi Lev Shnirelman, người có khả năng toán học đặc biệt. (Về sau này cậu bé này trở thành một nhà toán học lỗi lạc, viện sĩ của Liên Xô). Để kiểm tra năng khiếu của nhà toán học trẻ, N. N. Luzhin đưa cho anh ta ba mươi bài toán khó. Ông đã biết lời giải 29 bài toán; bài còn lại chính là... vấn đề continuum. Một tuần sau, nhà toán học trẻ đến gặp N. N. Luzhin và buồn bã nói: "Có một bài toán vì sao đó không giải được".
Chẳng phải ngẫu nhiên mà nhiều nỗ lực giải quyết bài toán continuum bị thất bại. Tình huống ở đây làm gợi nhớ đến định đề về đường thẳng song song. Trong suốt hai nghìn năm, các nhà toán học đã nỗ lực tìm cách suy ra định đề này từ các tiên đề còn lại của hình học. Đến mãi thế kỷ 19, sau các công trình của Lobachevsky, Hilbert và các nhà toán học khác, người ta mới biết rõ rằng định đề này không mâu thuẫn với các tiên đề còn lại, nhưng nó cũng không được suy ra từ chúng.
Hoàn toàn tương tự đối với nhóm tiên đề của lý thuyết tập hợp, nhận định về sự tồn tại của lực lượng trung gian không mâu thuẫn với các tiên đề còn lại (kết quả nghiên cứu của nhà toán học Gödel từ năm 1938), nhưng cũng không được suy ra từ chúng. Điều này phải đến tận năm 1964 mới được nhà toán học Paul Cohen người Mỹ và nhà toán học Petr Vopenka người Séc chứng minh gần như là đồng thời và độc lập với nhau.
